Chaîne de Markov à deux états - Exemple du centre de loisirs

On suppose par exemple que l'on veut modéliser les choix d’activités des enfants dans un centre de loisirs.

Pour un enfant choisi au hasard, l’état  \(\text A\) correspond à : « On a choisi un enfant qui fait une activité artistique ce jour-là » et l’état  \(\text B\) correspond à : « On a choisi un enfant qui fait du sport ce jour-là ».
Le premier jour, on a réparti les enfants à égalité dans les activités artistiques et sportives, donc \(X_0 =(0{,}5,\;0{,}5)\) .

Les choix des enfants évoluent chaque jour de la façon suivante.

• Si l’enfant a fait une activité artistique le jour \(k\) , la probabilité qu’il poursuive une activité artistique le lendemain (jour \(k+1\) ) est de  \(22\,\%\) et la probabilité qu’il change pour du sport est de \(78\,\%\) .
• Si l’enfant a fait du sport le jour \(k\) , la probabilité qu’il poursuive du sport le lendemain (jour \(k+1\) ) est de  \(47\,\%\) et la probabilité qu’il change pour une activité artistique est de \(53\,\%\) .

On remarque qu'ici il y a une hypothèse forte : le choix des enfants ne dépend que du jour précédent, le choix du mercredi dépend donc de l'activité dans laquelle ils étaient le mardi mais pas de l'activité dans laquelle ils étaient le lundi.

L’évolution suit donc le graphe probabiliste ci-dessous, dont la matrice de transition est  \(T\)   \(T_=\begin{pmatrix}0,22&0,78\\0,53&0,47\end{pmatrix}\) .

Si l’on suit l’évolution des inscriptions de jour en jour sur une semaine : \(\begin{array}{|l|l|l|} \hline \text {Lund}i&X_0=(0{,}5\quad0{,}5)&\textrm{50 % des enfants font une activité artistique et 50 % font du sport} \\ \hline \text {Mardi}&X_1=X_0T=(0{,}375\quad0{,}625)&\textrm{37,5 % des enfants font une activité artistique et 62,5 % font du sport} \\\hline \text {Mercredi}&X_1=X_1T=(0{,}41375\quad0{,}58625)&\textrm{Environ 41,4 % des enfants font une activité artistique et 58,6% font du sport} \\\hline \text {Jeudi}&X_3=X_2T=(0{,}4017375\quad0{,}5982625)&\textrm{Environ 40,2 % des enfants font une activité artistique et 59,8 % font du sport} \\\hline \text {Vendredi}&X_4=X_3T=(0{,}405461375\quad0{,}594538625)&\textrm{Environ 40,5 % des enfants font une activité artistique et 59,5 % font du sport} \\ \hline \end{array}\)